Poisson-Verteilung bei Fußballwetten

Die Poisson-Verteilung ist die einfachste ehrliche Methode, um aus „dieses Team dürfte etwa 1.5 Tore erzielen“ die Aussage „dieses Team erzielt in 33.5% der Fälle genau ein Tor“ zu machen. Sie nimmt eine Zahl, die erwartete Torzahl eines Teams, und verteilt die Wahrscheinlichkeit auf 0, 1, 2, 3 und mehr Tore. Macht man das für beide Teams und kombiniert die Ergebnisse, erhält man für jeden Spielstand eine Wahrscheinlichkeit. Aus dieser Tabelle lassen sich faire Preise für die meisten Torwettmärkte im Fußball berechnen, vom genauen Ergebnis bis zu Spielen ohne Gegentor.

Die Formel

Für ein Team mit einer erwarteten Torzahl von λ beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau k Tore:

P(k) = e^−λ × λ^k / k!

Dabei ist e ungefähr 2.718 und k! die Fakultät von k (3! = 3 × 2 × 1 = 6). Nehmen wir ein Heimteam mit λ = 1.5 und ein Auswärtsteam mit λ = 1.1. Das sind Beispielwerte, keine Zahlen von BAI8:

Tore	Heimteam, λ 1.5	Auswärtsteam, λ 1.1
0	22.3%	33.3%
1	33.5%	36.6%
2	25.1%	20.1%
3	12.6%	7.4%
4	4.7%	2.0%
5 oder mehr	1.9%	0.5%

Die unter den Quellen aufgeführten Leitfäden von Smarkets und Pinnacle erklären dieselben Schritte. Dazu gehört auch, wie sich λ aus der Angriffs- und Defensivstärke schätzen lässt.

Von zwei Spalten zur Ergebnistabelle

Wenn die Torzahlen der beiden Teams unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses durch Multiplikation der beiden Spaltenwerte. Für ein 1:1 sind das 33.5% × 36.6% = 12.3%. Für ein 1:0 sind es 33.5% × 33.3% = 11.1%. Die sechs wahrscheinlichsten Ergebnisse in diesem Beispiel:

Ergebnis	Wahrscheinlichkeit	Fairer Preis
1:1	12.3%	8.13
1:0	11.1%	9.01
2:1	9.2%	10.9
2:0	8.4%	11.9
0:1	8.2%	12.2
0:0	7.4%	13.5

Addiert man die Werte der Tabelle auf unterschiedliche Weise, erhält man ganze Wettmärkte. Die Heimsiege ergeben zusammen 46.4%, die Unentschieden 25.8% und die Auswärtssiege 27.8%. Ergebnisse mit drei oder mehr Toren ergeben zusammen 48.2%. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Heimteam ohne Gegentor bleibt, entspricht der Wahrscheinlichkeit für null Tore des Auswärtsteams: 33.3%.

Die Wettmärkte, für die sich Preise berechnen lassen

Wettmarkt	Was Sie addieren	Beispielwahrscheinlichkeit	Erklärung
Genaues Ergebnis	eine Zelle	1:1: 12.3%	Genaues Ergebnis
Über 2.5 Tore	Zellen mit 3+ Toren	48.2%	Über/unter 2.5
Ohne Gegentor	die Zeile mit 0 Toren des anderen Teams	Heimteam: 33.3%	Ohne Gegentor
Siegmarge	Zellen nach Tordifferenz	Heimsieg mit 1 Tor Unterschied: 23.2%	Siegmarge
Torreichste Halbzeit	dieselbe Berechnung, nach Halbzeiten aufgeteilt	erfordert eine zeitliche Aufteilung	Torreichste Halbzeit

Wo das Modell an seine Grenzen stößt

Zwei Annahmen führen zu Fehlern. Erstens, dass die Torzahlen beider Teams unabhängig voneinander sind. Dixon und Coles stellten fest, dass das einfache Modell für die torarmen Ergebnisse 0:0, 1:0, 0:1 und 1:1 falsche Preise liefert, und ergänzten dafür eine Korrektur. Zweitens, dass die Torrate eines Teams über 90 Minuten konstant bleibt. Das tut sie nicht: Ein Team, das in Rückstand gerät, greift an, eine rote Karte verändert alles, und die Spielsituation beeinflusst die Rate während des gesamten Spiels. Außerdem ist die ganze Tabelle nur so gut wie λ. Ein falscher Eingabewert für die erwartete Torzahl liefert eine Tabelle, die präzise wirkt, aber falsch ist. Unsere xG-Erklärung erläutert, woher diese Eingabewerte kommen.

Wie BAI8 damit zusammenhängt

Die von BAI8 veröffentlichten Zahlen stammen nicht aus einem Poisson-Modell. Ausgangspunkt einer Karte ist der vollständige Wettmarkt für den Spielausgang, aus dem die Marge herausgerechnet wurde. Anschließend werden die Wahrscheinlichkeiten anhand der Erkenntnisse aus der Recherche angepasst, wie unter So berechnet BAI8 Preise für ein Spiel beschrieben. Die heutige Karte für Trabzonspor gegen SC Freiburg nennt Trabzonspor 50.7%, Unentschieden 23.2%, Freiburg 26.1%. Mehr sagt sie nicht aus. Sie veröffentlicht für keines der beiden Teams einen λ-Wert. Deshalb können Sie daraus keine Ergebnistabelle rekonstruieren.

Was Ihnen das nicht sagt

Poisson sagt Ihnen nicht, wo Value liegt. Die Verteilung liefert eine systematische erste Schätzung, die Sie anschließend mit einem Preis vergleichen, nachdem Sie die Marge herausgerechnet haben. Buchmacher können deutlich ausgefeiltere Modelle einsetzen als diese einfache Variante. Eine Abweichung zwischen Ihrer Poisson-Zahl und dem Wettmarkt liegt daher häufiger an Ihren Eingabewerten als an einem Fehler im Preis.

18+. Setzen Sie nur so viel, wie Sie sich leisten können zu verlieren.